Logaritmi

Definizione, funzione inversa dell'esponenziale e proprietà

Che cos'è un logaritmo?

Il logaritmo risponde a una domanda semplice: a quale esponente devo elevare una base per ottenere un certo numero? È quindi l'operazione che "estrae l'esponente" da una potenza, ed è l'inverso dell'elevamento a potenza.

loga b = c  ⟺  ac = b

Si legge: «il logaritmo in base a di b è c». Il numero a è la base, b è l'argomento.

Condizioni di esistenza:
  • La base deve essere positiva e diversa da 1: a > 0, a ≠ 1
  • L'argomento deve essere positivo: b > 0

1. La Definizione

Descrizione: Partiamo da una domanda concreta — «a quale esponente elevare 2 per ottenere 8?» — per arrivare alla definizione di logaritmo.
Dall'esponenziale al logaritmo:
  1. La domanda è: 2? = 8
  2. La risposta è l'esponente: 23 = 8
  3. Quell'esponente è il logaritmo: log2 8 = 3
Idea chiave: il logaritmo è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento. Ricordare questa frase risolve metà degli esercizi sui logaritmi.

2. L'Inversa dell'Esponenziale

Descrizione: La funzione logaritmica annulla l'esponenziale: se l'esponenziale trasforma l'esponente nel valore della potenza, il logaritmo fa il percorso inverso.
Sul grafico: le curve di y = 2x e y = log2 x sono simmetriche rispetto alla retta y = x: una è il riflesso dell'altra. Questa è la firma visiva di due funzioni inverse.

Di conseguenza, dominio e codominio si scambiano: l'esponenziale ha per dominio tutto ℝ e valori sempre positivi; il logaritmo ha per dominio i soli numeri positivi e valori in tutto ℝ.

3. Le Proprietà

Descrizione: Le proprietà dei logaritmi discendono direttamente da quelle delle potenze e sono lo strumento per semplificare espressioni e risolvere equazioni.
  • Logaritmo del prodotto: loga(x·y) = loga x + loga y
  • Logaritmo del quoziente: loga(x/y) = loga x − loga y
  • Logaritmo della potenza: loga(xn) = n · loga x
  • Casi particolari: loga 1 = 0  e  loga a = 1
Perché funzionano: il logaritmo trasforma prodotti in somme e potenze in prodotti. È esattamente l'idea che, prima delle calcolatrici, rendeva i logaritmi così utili per i calcoli.

4. Il Cambiamento di Base

Descrizione: La calcolatrice conosce solo i logaritmi in base 10 (tasto log) e in base e (tasto ln). Per calcolare un logaritmo in qualsiasi altra base si usa la formula del cambiamento di base:
loga b = logc b / logc a
Esempio — calcolare log2 8 con i logaritmi in base 10:
  1. Applico la formula: log2 8 = log 8 / log 2
  2. Sostituisco i valori: ≈ 0,903 / 0,301
  3. Ottengo: = 3
  4. Verifica: 23 = 8 ✓
Nota: la base c è a nostra scelta — il risultato non cambia. In pratica si sceglie 10 oppure e, perché sono le basi disponibili sulla calcolatrice.

Riepilogo

I logaritmi sono l'operazione inversa dell'esponenziale e uno strumento fondamentale in matematica e nelle scienze. I punti chiave sono:

  1. Definizione: loga b è l'esponente da dare ad a per ottenere b
  2. Funzione inversa: il grafico è simmetrico a quello dell'esponenziale rispetto a y = x
  3. Proprietà: trasformano prodotti in somme, quozienti in differenze e potenze in prodotti
  4. Cambiamento di base: permette di calcolare un logaritmo in qualsiasi base

Con queste basi siamo pronti ad affrontare le equazioni e disequazioni logaritmiche, la prossima tappa del percorso.

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